10 занимательных задач из старинного учебника арифметики

Найдём число, которое может делиться и на 10, и на 14. Например, 140. За 140 дней человек выпьет 10 бочонков кваса, а вместе с женой — 14 бочонков. Значит, за 140 дней жена выпьет 14 − 10 = 4 бочонка кваса. Тогда один бочонок кваса она выпьет за 140 ÷ 4 = 35 дней.

Если заяц сделает 6 скачков, то и собака сделает 6 скачков, но собака за 5 скачков из 6 пробежит то же расстояние, что заяц за 6 скачков. Следовательно, за 6 скачков собака приблизится к зайцу на расстояние, равное одному своему скачку.

Так как в начальный момент расстояние между зайцем и собакой было равно 40 собачьим скачкам, то собака догонит зайца через 40 × 6 = 240 скачков.

Пусть х орехов — это меньшая часть, а (130 − х) — это большая часть. Тогда 4х орехов — меньшая часть, увеличенная в 4 раза, (130 − х) ÷ 3 — большая часть, уменьшенная в 3 раза. По условию меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равняется большей части, уменьшенной в 3 раза. Составим уравнение и решим его:

4х = (130 − х) ÷ 3

4х × 3 = 130 − х

12х = 130 − х

12x + x = 130

13х = 130

х = 10

Значит, меньшая часть составляет 10 орехов, а большая — 130 − 10 = 120 орехов.

Простой любого из трёх жерновов увеличивает время помола зерна, поэтому все три жёрнова должны работать одинаковое время. За сутки все жернова могут смолоть 60 + 54 + 48 = 162 четверти зерна, а надо смолоть 81 четверть. Это половина от 162 четвертей, поэтому жернова должны работать 12 часов. За это время на первом жёрнове надо смолоть 30 четвертей, на втором — 27 четвертей, а на третьем — 24 четверти зерна.

Если принять мужчин за х, женщин за у, а детей за z, получится такое равенство: х + у + z = 12. Мужчины несут по 2 буханки — 2х, женщины по половине — 0,5у, дети по четверти — 0,25z. Составим уравнение: 2х + 0,5у + 0,25z = 12. Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дробей: 2х × 4 + 0,5у × 4 + 0,25z × 4 = 12 × 4; 8х + 2у + z = 48.

Разложим уравнение таким образом: 7х + у + (х + у + z) = 48. Известно, что х + у + z = 12, подставим данные в уравнение и упростим его: 7х + у + 12 = 48; 7х + у = 36.

Теперь методом подбора нужно найти х, удовлетворяющий условию. В нашем случае это 5, потому что если бы мужчин было шестеро, то весь хлеб распределился бы между ними, а детям и женщинам ничего бы не досталось, а это противоречит условию. Подставим 5 в уравнение: 7 × 5 + у = 36; у = 36 − 35 = 1. Значит, мужчин было пятеро, женщина одна, а детей — 12 − 5 − 1 = 6.

В конце обмена у каждого мальчика оказалось по 8 яблок. Согласно условию, третий мальчик дал двум другим столько яблок, сколько они имели. Следовательно, у них было по 4 яблока, а у третьего — 16.

Значит, перед второй передачей первый мальчик имел 4 ÷ 2 = 2 яблока, третий — 16 ÷ 2 = 8 яблок, а второй — 4 + 2 + 8 = 14 яблок. Таким образом, с самого начала у второго мальчика было 7 яблок, у третьего — 4 яблока, а у первого — 2 + 7 + 4 = 13 яблок.

Из условия следует, что и у Ивана, и у Михаила вдвое больше овец, чем у Якова; у Петра вдвое больше, чем у Ивана, и, значит, вчетверо больше, чем у Якова. Но тогда у Герасима столько же овец, сколько имеет их Яков.

Пусть у Якова и Герасима по х овец, тогда у Ивана и у Михаила по 2х овец, у Петра — 4х. Составим уравнение: х + х + 2 х + 2х + 4х = 10; 10х = 10; х = 1. Значит, Яков и Герасим будут пасти овец по одному дню, Иван и Михаил — по два дня, а Пётр — четыре дня.

За один день путники сближаются на 70 вёрст. Поскольку расстояние между городами равно 700 вёрстам, то встретятся они через 700 ÷ 70 = 10 дней.

Если бы человек работал без прогулов, то за 60 дней он заработал бы 20 × 60 = 1 200 копеек. За каждый нерабочий день у него вычитают 30 копеек и он не зарабатывает 20 копеек, то есть за каждый прогул он теряет 20 + 30 = 50 копеек.

Поскольку за 60 дней работник ничего не заработал, то потеря за все нерабочие дни составила 1 200 копеек, то есть число нерабочих дней равно 1 200 ÷ 50 = 24 дня. Количество рабочих дней поэтому равно 60 − 24 = 36 дням.

Всего в команде 9 × 3 = 27 человек. Значит, в карауле 27 − 9 = 18 человек.