«Голая статистика» — самая интересная книга о самой скучной науке

Загадка Монти Холла

«Загадка Монти Холла» — знаменитая задача по теории вероятностей, поставившая в тупик участников игрового шоу под названием Let’s Make a Deal («Совершим сделку»), до сих пор популярного в ряде стран, премьера которого состоялась в Соединенных Штатах в 1963 году. (Помню, я всякий раз смотрел это шоу в детстве, когда не ходил в школу по причине болезни.) Во введении к книге я уже указывал, что в этом игровом шоу может быть интересно для статистиков. В конце каждого его выпуска участник, добравшийся до финала, становился вместе с Монти Холлом перед тремя большими дверями: Дверью № 1, Дверью № 2 и Дверью № 3. Монти Холл объяснял финалисту, что за одной из этих дверей скрывается очень ценный приз — например новый автомобиль, а за двумя другими — козел. Финалист должен был выбрать одну из дверей и получить то, что за ней находилось. (Я не знаю, был ли среди участников шоу хотя бы один человек, желающий получить козла, но для простоты рассуждений будем полагать, что подавляющее большинство участников мечтали о новом автомобиле.)

Начальную вероятность выигрыша определить довольно просто. Есть три двери, за двумя скрывается козел, а за третьей — автомобиль. Когда участник шоу вместе с Монти Холлом стоит перед этими дверями, у него есть один шанс из трех выбрать дверь, за которой находится автомобиль. Но, как отмечалось выше, в Let’s Make a Deal кроется подвох, увековечивший эту телепрограмму и ее ведущего в литературе по теории вероятностей. После того как финалист шоу укажет на какую-то из трех дверей, Монти Холл открывает одну из двух оставшихся дверей, за которой всегда находится козел. Затем Монти Холл спрашивает финалиста, не желает ли он изменить свое решение, то есть отказаться от ранее выбранной им закрытой двери в пользу другой закрытой двери.

Допустим, ради примера, что участник указал на Дверь № 1. Затем Монти Холл открыл Дверь № 3, за которой скрывался козел. Две двери, Дверь № 1 и Дверь № 2, по-прежнему остаются закрытыми. Если бы ценный приз находился за Дверью № 1, финалист выиграл бы его, а если за Дверью № 2, то проиграл бы. Именно в этот момент Монти Холл обращается к игроку с вопросом, не желает ли он изменить свой первоначальный выбор (в данном случае отказаться от Двери № 1 в пользу Двери № 2). Вы, конечно, помните, что обе двери пока закрыты. Единственная новая информация, которую участник получил, состоит в том, что козел оказался за одной из двух дверей, которые он не выбрал.

Следует ли финалисту отказаться от первоначального выбора в пользу Двери № 2?

Отвечаю: да, следует. Если он будет придерживаться первоначального выбора, то вероятность выигрыша им ценного приза составит ⅓; если же передумает и укажет на Дверь № 2, то вероятность выигрыша ценного приза будет ⅔. Если не верите мне, читайте дальше.

Признаю, что такой ответ на первый взгляд далеко не очевиден. Кажется, что, какую бы из оставшихся двух дверей ни выбрал финалист, вероятность получения ценного приза в обоих случаях равняется ⅓. Есть три закрытые двери. Поначалу вероятность того, что ценный приз скрывается за любой из них, составляет ⅓. Разве имеет какое-то значение решение финалиста поменять свой выбор в пользу другой закрытой двери?

Безусловно, поскольку закавыка заключается в том, что Монти Холл знает, что находится за каждой дверью. Если финалист выберет Дверь № 1 и за ней действительно будет автомобиль, то Монти Холл может открыть либо Дверь № 2, либо Дверь № 3, чтобы продемонстрировать козла, скрывающегося за ней.

Если финалист выберет Дверь № 1, а автомобиль будет за Дверью № 2, то Монти Холл откроет Дверь № 3.

Если же финалист укажет на Дверь № 1, а автомобиль окажется за Дверью № 3, то Монти Холл откроет Дверь № 2.

Изменив свое решение после того, как ведущий откроет какую-то из дверей, финалист получает преимущество выбора двух дверей вместо одной. Я попытаюсь убедить вас в правильности этого анализа тремя разными способами.

Первый — эмпирический. В 2008 году колумнист газеты The New York Times Джон Тайерни написал материал о «феномене Монти Холла». После этого сотрудники издания разработали интерактивную программу, которая позволяет вам сыграть в эту игру и самостоятельно принять решение, менять свой первоначальный выбор или нет. (В программе даже предусмотрены маленькие козлики и автомобильчики, которые появляются из-за дверей.) Программа фиксирует ваши выигрыши в случае, когда вы меняете свой первоначальный выбор, и в случае, когда остаетесь при своем мнении. Я заплатил одной из своих дочерей за то, чтобы она сыграла в эту игру 100 раз, каждый раз меняя первоначальный выбор. Я также заплатил ее брату, чтобы он тоже сыграл в эту игру 100 раз, каждый раз оставляя первоначальное решение. Дочь выиграла 72 раза; ее брат — 33 раза. Усилия каждого были вознаграждены двумя долларами.

Данные из эпизодов игры Let’s Make a Deal свидетельствуют о такой же закономерности. Согласно Леонарду Млодинову, автору книги The Drunkard’s Walk, те из финалистов, кто изменил свой первоначальный выбор, становились победителями примерно в два раза чаще, чем те, кто оставался при своем мнении.

Мое второе объяснение данного феномена основывается на интуиции. Допустим, правила игры слегка поменялись. Например, финалист начинает с выбора одной из трех дверей: Двери № 1, Двери № 2 и Двери № 3, как и было предусмотрено изначально. Однако затем, прежде чем открыть какую-то из дверей, за которой скрывается козел, Монти Холл спрашивает: «Согласны ли вы отказаться от своего выбора в обмен на открывание двух оставшихся дверей?» Таким образом, если вы выбрали Дверь № 1, вы можете передумать в пользу Двери № 2 и Двери № 3. Если сперва указали на Дверь № 3, можете выбрать Дверь № 1 и Дверь № 2. И так далее.

Для вас это было бы не особо трудным решением: совершенно очевидно, что вам следует отказаться от первоначального выбора в пользу двух оставшихся дверей, поскольку это повышает шансы на выигрыш с ⅓ до ⅔. Самое интересное, что именно такой в сущности вариант предлагает вам Монти Холл в реальной игре, после того как откроет дверь, за которой скрывается козел. Принципиальный факт заключается в том, что если бы вам была предоставлена возможность выбрать две двери, за одной из них в любом случае скрывался бы козел. Когда Монти Холл открывает дверь, за которой находится козел, и только после этого спрашивает вас, согласны ли вы изменить свой первоначальный выбор, он существенно повышает ваши шансы на выигрыш ценного приза! По сути, Монти Холл говорит вам: «Вероятность того, что ценный приз скрывается за одной из двух дверей, которые вы не выбрали с первого раза, составляет ⅔, а это все-таки больше, чем ⅓!»

Это можно представить себе так. Допустим, вы указали на Дверь № 1. После этого Монти Холл дает вам возможность отказаться от первоначального решения в пользу Двери № 2 и Двери № 3. Вы соглашаетесь и получаете в свое распоряжение две двери, а это означает, что у вас есть все основания рассчитывать на выигрыш ценного приза с вероятностью ⅔, а не ⅓. А что было бы, если бы в этот момент Монти Холл открыл Дверь № 3 — одну из «ваших» дверей, — и за ней оказался бы козел? Поколебал бы этот факт вашу уверенность в принятом решении? Конечно же нет. Если бы автомобиль скрывался за Дверью № 3, Монти Холл открыл бы Дверь № 2! Он бы ничего вам не показал.

Когда игра идет по накатанному сценарию, Монти Холл действительно предоставляет вам выбор между дверью, которую вы указали поначалу, и двумя оставшимися дверями, за одной из которых может находиться автомобиль. Когда Монти Холл открывает дверь, за которой скрывается козел, он просто оказывает вам любезность, демонстрируя, за какой из двух других дверей нет автомобиля. Вы располагаете одинаковыми вероятностями выигрыша в обоих из указанных ниже сценариев.

1. Выбор Двери № 1, затем согласие «переключиться» на Дверь № 2 и Дверь № 3 еще до того, как будет открыта какая-либо дверь.
2. Выбор Двери № 1, затем согласие «переключиться» на Дверь № 2, после того как Монти Холл продемонстрирует вам козла за Дверью № 3 (или выбор Двери № 3, после того как Монти Холл продемонстрирует вам козла за Дверью № 2).

В обоих случаях отказ от первоначального решения обеспечивает вам преимущество двух дверей по сравнению с одной, и вы можете таким образом удвоить свои шансы на выигрыш: с ⅓ до ⅔.

Мой третий вариант представляет собой более радикальную версию той же базовой интуиции. Допустим, Монти Холл предлагает вам выбрать одну из 100 дверей (вместо одной из трех). После того как вы это сделаете, скажем, указав на Дверь № 47, он открывает 98 оставшихся дверей, за которыми оказываются козлы. Теперь закрытыми остаются всего две двери: ваша Дверь № 47 и еще одна, например Дверь № 61. Следует ли вам отказаться от своего первоначального выбора?

Разумеется да! С 99-процентной вероятностью автомобиль находится за одной из дверей, которые вы не выбрали поначалу. Монти Холл оказал вам любезность, открыв 98 таких дверей, за ними автомобиля не было. Таким образом, существует лишь 1 из 100 шансов, что ваш первоначальный выбор (Дверь № 47) будет правильным. В то же время существует 99 из 100 шансов, что ваш первоначальный выбор неправильный. А если так, то автомобиль находится за оставшейся дверью, то есть Дверью № 61. Если вы хотите сыграть с вероятностью выигрыша в 99 случаях из 100, то вам следует «переключиться» на Дверь № 61.

Короче говоря, если вам когда-нибудь придется участвовать в игре Let’s Make a Deal, вам, безусловно, нужно отказаться от своего первоначального решения, когда Монти Холл (или тот, кто будет его замещать) предоставит вам возможность выбора. Более универсальный вывод из этого примера состоит в том, что ваши интуитивные догадки относительно вероятности наступления тех или иных событий могут подчас вводить вас в заблуждение.

«Голая статистика», Чарльз Уилан

*Деятельность Meta Platforms Inc. и принадлежащих ей социальных сетей Facebook и Instagram запрещена на территории РФ.